ユークリッド距離とマンハッタン距離の不思議

　
　はいどうも。ブログの保存が上手くいっておらず、せっせと書いた記事を丸ごと失ったB4の小林です。
　ミニ四駆非接触給電レースの話でもしようかなあと思っていましたが、それについてはリーダーである霜村君が鼻息荒く語りたがっているのでそちらに任せようと思います。
　というわけで困ったので、少しばかり不思議な話でも。
　
　皆さんは、ユークリッド距離とマンハッタン距離を知っていますか？　因みに僕は今ググりました(正確には消えた記事を書いたときにググりました)。すると、こんな画像が出てくるかと思います。

https://mathtrain.jp/manhattanより引用

　まあ見れば分かると思うんですが、少しばかり補足をすると。
　ユークリッド距離とは、平地を最短で進んだ時の距離。
　マンハッタン距離とは、碁盤の目のようになっている街(例えば平城京とかね)を最短で進んだ場合の距離。

　ついでに言うと、これも見れば分かると思うんですが、ユークリッド距離よりマンハッタン距離の方が長くなるという特徴がありますよね。
　正方形で対角点まで移動する場合を考えると、マンハッタン距離はユークリッド距離の√2倍となります。
　ここからは、簡単のために正方形を移動する場合で考えるとしましょう。

　さてさて、僕は産声をあげた時から疑問に思っていることがあります。
「碁盤の目が超細かかったらマンハッタン距離はほぼ一本の直線になるし、それってユークリッド距離と同じじゃね？」
てなことです。僕は22年ほど生きてきて、これを疑問に思わなかった日はないです。ええ、面倒くさいガキだなと僕も思いますとも。

　分かりやすくするために図にしてみましょう。

ユークリッド距離

マンハッタン距離

　CADソフト使って三秒で書いたので見にくくて申し訳ないです。
　上の図がユークリッド距離。下の図がマンハッタン距離です。下の図は僅かにギザギザしているのが見て取れるかと思います。
　しかしながら、です。下もほぼ直線に見えますよね。なんならこの程度の差は「誤差」と感じてしまうほどです。少なくともフリーハンドではこんな直線引けません。
　これを見て、やっぱりマンハッタン距離はユークリッド距離の√2倍！　なんてのたまう輩はいないはずです。そんなこと言うのは名探偵コナンぐらいのものです。それこそコナン＝工藤新一ぐらい信じられません。

　しかし、真実はいつも一つ。
　冷静に考えると、マンハッタン距離はユークリッド距離の√2倍であることが分かってしまいます。コナン君すげえ。
　下の画像を見てみましょう。

マンハッタン距離2

　驚くべきことに、この画像と一枚前の画像は同一の長さである、というのがマンハッタン距離に於ける定義なんですね。やはり、マンハッタン距離はユークリッド距離の√2倍であるようです。つまり、江戸川コナン＝工藤新一ってことです。嘘だぁ。

　冗談抜きにしても、実世界で言えばとても奇妙ですよね。だって普通は斜めに進んだ方が短いじゃないですか。多少ギザギザでも斜めが短いに決まってる。ましてや無限回曲がってるってそれもう直線だし、長さ同じだし……ってそう思うのは不思議ではないはずですよね。
　
　さて、なんでこんな話をしようと思ったかというと、「誤差」って何を以て「誤差」と言えるのかなと思ったためです。
　今回の例でもそうですが、パッと見では誤差に見えるものであっても、見方を変えると非常に大きな差に見えるかもしれません。まあ、今回のは単純な定義の違いでしょと言われればそれまでですが。
　
　小難しい話になった上に研究室となんも関係ないですが、しっかりとした記事は今週末にでもリーダーの霜村君が書くでしょう。
　それではそれでは。